理化学研究所（理研）量子コンピュータ研究センター 量子複雑性解析理研白眉研究チームの桑原 知剛 理研白眉研究チームリーダー（開拓研究所 桑原量子複雑性解析理研白眉研究チーム 理研白眉研究チームリーダー）らの研究チームは、量子もつれ[1]の内部構造を表す「量子もつれスペクトル（エンタングルメント・スペクトル）[2]」が時間とともに変化する速さに、普遍的な上限があることを理論的に証明し、その限界に実際に到達できることも示しました。
本研究成果は、量子系の空間的配置によらず成り立つ、幅広い状況に適用できる一般的な「上限」を与えるものであり、量子多体系[3]のシミュレーションに必要な計算量の減少に貢献すると期待されます。
これまで、量子もつれは、複数の量子の間に存在する特異な相関を数値で表した量子もつれの総量が「どれだけあるか」という観点から研究されてきました。しかし、量子状態を効率よく計算できるかどうかは、量子もつれスペクトルにも大きく左右されます。研究チームは、量子もつれスペクトルの時間変化を捉える新しい理論「量子もつれスペクトルの速度限界理論（Spectral SIE）[4]」を構築し、量子状態を表すために必要な情報をどこまで圧縮できるかを評価できるようにしました。さらに、この理論を、離れた粒子同士が影響し合う量子系にも応用し、これまでより大幅に少ない情報量で量子状態を高精度に近似できることを証明しました。
本研究は、科学雑誌『Physical Review X』（11月9日付）に掲載されました。
量子もつれの総量から、内部構造を表す「量子もつれスペクトル」へ
背景
量子もつれは、複数の粒子や自由度が、離れていても一つのまとまりとして振る舞う量子力学特有の相関です。量子コンピュータや量子シミュレータ[5]の能力を支える重要な性質である一方、多数の粒子から成る量子多体系を古典コンピュータで計算することを難しくする主要な原因でもあります。従って、量子もつれが時間とともにどのように生まれ、広がっていくのかを理解することは、量子力学の基礎を理解する上でも、複雑な量子系を効率よく計算する上でも重要な課題です。
これまで量子もつれは、主に「どれだけの量があるか」という量子もつれの総量の観点から研究されてきました。しかし、量子もつれには総量だけでなく、その内部にどのような重み（成分）が、どのような割合で含まれているかという構造があります。この内部構造を表すのが「量子もつれスペクトル」です。光に例えると、量子もつれの総量が光全体の明るさだとすれば、量子もつれスペクトル分布は、その光が赤、緑、青などの成分をどのような割合で含んでいるかを表すスペクトル分布に相当します（図1上）。
図1 光のスペクトルと量子もつれのスペクトルの比較
光の明るさと色の内訳の関係を、量子もつれの総量と量子もつれスペクトル分布の関係に対応させた概念図である。本研究の「Spectral SIE」は、スペクトルの時間変化と、その小さな重みがおおよそ1/s2の2乗則に従って抑えられることを示す。
この内部構造は、量子状態をコンピュータでどこまで効率よく扱えるかを考える上で重要です。量子もつれスペクトルの重みを大きい順に並べたとき、後ろにいくほど急速に小さくなれば、それらの小さな重みを切り捨てても元の量子状態を高い精度で近似できます。
つまり、量子状態を表すために必要な情報を大きく圧縮できます。反対に、多数の小さな重みがなかなか小さくならない場合には、多くの情報を残す必要があり、計算は難しくなります。同じ量の量子もつれを持つ状態でも、スペクトルの形によって計算の難しさは大きく異なります。
これまで、時間とともに量子もつれの総量が増える速さには普遍的な上限があることが知られていました。しかし、この理論が捉えるのはあくまで量子もつれの「総量」であり、スペクトルを構成する各重みが時間とともにどれほど速く変化するのかまでは分かっていませんでした。そのため、量子もつれの総量に対する速度限界だけから、量子状態をどこまで圧縮できるのか、さらには量子多体系をどこまで効率よくシミュレーションできるのかを直接明らかにすることはできませんでした。
そこで研究チームは、量子もつれスペクトルそのものの時間変化に着目しました。スペクトルの変化に普遍的な速度限界を与えることができれば、量子もつれの基礎的なダイナミクスと、複雑な量子状態を効率よく計算できる条件とを直接結び付けられると考えたのです。
研究手法と成果
研究チームはまず、量子系の間に働く相互作用が、量子もつれスペクトルをどれほど複雑にできるかを測る新しい指標として「スペクトル生成強度[6]」を導入しました。
例えば、最初は量子もつれのない二つの量子系を相互作用させると、時間とともに量子もつれが生まれます。このとき、量子もつれスペクトルにおいて、相互作用の影響が、一部の重みに集中する場合もあれば、多数の小さな重みへと広がる場合もあります。従来の理論では主に量子もつれの「総量」がどれだけ増えるかを調べていました。一方、新しい指標では、二つの量子系の相互作用が量子もつれスペクトルをどれほど広げ、複雑にできるかに注目します。
スペクトル生成強度を用いて量子もつれスペクトルの時間変化を解析した結果、研究チームは、その変化する速さには普遍的な上限が存在することを証明し、この新しい理論を、「量子もつれスペクトルの速度限界理論（Spectral SIE）」と名付けました。
さらに、実際に、量子もつれスペクトルの時間変化の速さが普遍的な上限に達する場合があることも示しました。従って、これよりも変化の速さを強く制限する上限は一般には成り立たず、今回得られた速度限界が、量子もつれスペクトルが変化し得る速さの理論上の限界となります。
この速度限界から、量子もつれスペクトルの形についても新しい普遍則が導かれました。スペクトルの重みが大きいものから順に並べ、その順位を「s」とすると、後ろに続く小さな重みは、おおよそ「1/s2」という2乗則に従って小さくなるように抑えられることが分かりました（図1下）。さらに、一般にはこれより速く減少することは保証できず、この2乗則が理論上の限界となることも示しました。
この結果は、量子系をコンピュータで計算するときに大きな意味を持ちます。小さな重みがどの程度まで減少するかを理論的に保証できるため、重要度の低い部分を安全に切り捨て、量子状態を圧縮することができます。今回の理論によって、どの程度まで圧縮すれば、どれほどの誤差が生じるのかを数学的に評価できるようになりました。
研究チームはさらに、この一般原理を、離れた粒子同士も直接影響し合う「長距離相互作用[7]」を持つ1次元量子系に応用しました（図2）。その結果、量子系を調べる上で重要なさまざまな状態（基底状態[8]、時間発展状態[9]、熱平衡状態[10]）を、テンソルネットワーク[11]という表現を用いて効率よく近似できることを示しました。特に、近似に必要な情報量を、従来の準多項式規模[12]から多項式規模[12]へと改善しました。多項式規模とは、量子系が大きくなっても必要な情報量が爆発的に増えるのではなく、量子系の大きさや求める精度に応じて比較的緩やかに増えることを意味します。
図2 長距離相互作用系における、準多項式規模から多項式規模への改善
長距離相互作用を持つ1次元量子系をテンソルネットワークで近似し、必要な情報量を準多項式規模から多項式規模へ改善したことを示す。基底状態、時間発展状態、熱平衡状態を対象とし、時間発展ではt-DMRGの事前誤差保証も与えた。
特に時間発展については、量子状態を表す情報のうち重要度の低い部分を少しずつ捨てながら計算する時間依存密度行列繰り込み群法（t-DMRG）[13]を解析しました。本研究では、計算途中で小さな成分を捨てることで生じる誤差が制御不能に増幅しないことを理論的に証明し、量子系の大きさ、時間、相互作用、目標とする精度から最終的な誤差を計算前に評価できる、世界初の厳密な精度保証[14]を与えることに成功しました。
今後の期待
本研究で確立した量子もつれスペクトルの速度限界理論は、量子系の空間的な配置によらず成り立つ、幅広い状況に適用できる一般的な「上限」を与えます。一方、現実の量子系の多くでは、近くにある粒子ほど強く相互作用するなど、粒子同士の距離や配置に由来する明確な空間的構造があります。
このため、粒子同士の距離や配置が重要になる場合には、量子もつれスペクトルの変化は今回の一般的な上限よりもさらに強く抑えることができる可能性があります。どのような空間構造や相互作用のつながり方を利用すれば、より精密な速度限界が得られるのかは、まだ十分に分かっていません。こうした構造を取り入れた理論を構築することで、量子多体系のシミュレーションに必要な計算量をさらに減らすことができると期待されます。
もう一つの重要な方向は、「量子状態の圧縮」から「量子操作[15]そのものの圧縮」への拡張です。本研究では、ある量子操作が量子もつれスペクトルをどれほど複雑にできるかを調べることで、量子状態をどこまで少ない情報で表せるかを評価しました。
今後、この考え方を発展させ、量子状態を変化させる複雑な量子操作そのものを、少数の重要な成分だけで高精度に近似する「低ランク近似[16]」の一般理論を構築できれば、量子多体系の時間発展だけでなく、量子アルゴリズム[17]を効率よく表現・解析するための新しい理論基盤になると期待されます。
補足説明
- 1.量子もつれ
複数の粒子や自由度が、離れていても一つのまとまりのように強く結び付いた量子力学特有の相関。量子コンピュータなどで利用される一方、多数の粒子から成る量子系を古典コンピュータで計算することを難しくする要因でもある。 - 2.量子もつれスペクトル（エンタングルメント・スペクトル）
量子系を二つに分けたときに、量子もつれを構成する各部分の重みを大きい順に並べたもの。量子もつれが少数の主要な部分に集中しているか、多数の小さな部分に広がっているかを表す。 - 3.量子多体系
多数の粒子や自由度が互いに影響し合いながら振る舞う量子系。粒子数が増えると状態を記述するために必要な情報量が急激に増えるため、効率的な近似法が重要になる。 - 4.量子もつれスペクトルの速度限界理論（Spectral SIE）
本研究で構築した理論の名称。Spectral SIEはSpectral Small-Incremental-Entanglingの略。Small-Incremental-Entanglingは、短い時間の間に量子もつれがどれだけ増えるかを扱う考え方を意味し、Spectralはその対象を量子もつれスペクトルに広げたことを表す。 - 5.量子シミュレータ
制御しやすい量子系を使って、別の複雑な量子系の振る舞いを再現し、その性質を調べる装置や方法。通常のコンピュータでは計算が難しい量子現象の研究に利用される。 - 6.スペクトル生成強度
量子系の間に働く相互作用が、もつれのない状態から量子もつれスペクトルをどれほど広げ、複雑にできるかを測るため、本研究で導入した指標。相互作用の単純な強さだけでは捉えられない、量子もつれの内部構造を生み出す能力を表す。 - 7.長距離相互作用
遠く離れた粒子や自由度の間にも無視できない強さで働く相互作用。本研究では、距離が大きくなるほど相互作用が弱くなる1次元量子系を扱い、距離の2乗より速く弱くなる場合に多項式規模（[12]参照）の近似を示した。 - 8.基底状態
量子系が取り得る状態のうち、最もエネルギーの低い状態。物質や量子系の基本的な性質を調べる際に重要となる。 - 9.時間発展状態
ある初期状態から、粒子同士の相互作用などによって時間とともに変化した量子状態。量子系が時間の経過に伴ってどのように変化するかを記述する。 - 10.熱平衡状態
一定の温度の環境下で十分に時間が経ち、全体として性質が変化しなくなった状態。物質の温度による性質の変化を記述する上で、基本となる状態である。 - 11.テンソルネットワーク
非常に多くの情報が必要な量子状態や量子操作（[15]参照）を、少数の小さな部品をつなぎ合わせる形に整理して、効率よく表す方法。1次元の量子状態を表す代表的な形が行列積状態（Matrix Product State, MPS）、量子状態を変化させる操作を表す代表的な形が行列積演算子（Matrix Product Operator: MPO）である。 - 12.準多項式規模、多項式規模
多項式規模は、系が大きくなったときに、必要な情報量や計算量が系の大きさの一定のべき乗程度で増える場合のこと。準多項式規模は、多項式規模より速い一方、指数関数よりは遅い増え方をする。本研究では、対象とする長距離相互作用系の厳密な近似保証を準多項式規模から多項式規模へ改善した。 - 13.時間依存密度行列繰り込み群法（t-DMRG）
量子状態を行列積状態で表し、時間を少し進めては重要度の低い小さな部分を捨てる、という操作を繰り返して時間変化を計算する代表的な数値計算法。本研究では、標準的なt-DMRGについて、計算前に最終的な誤差を評価できる世界初の厳密な精度保証（[14]参照）を与えた。t-DMRGはtime-dependent Density Matrix Renormalization Groupの略。 - 14.精度保証
数値計算で得られた結果が、真の結果からどの程度ずれ得るかを理論的に示すこと。本研究ではt-DMRGについて、系の大きさや時間、相互作用、目標とする精度から、最終的な誤差の上限を計算前に評価できることを示した。 - 15.量子操作
量子状態を別の量子状態へ変化させる働きや操作の総称。量子系の時間変化や測定など、量子状態に加えるさまざまな変化を含む。 - 16.低ランク近似
複雑な状態や操作を、重要な少数の成分だけを残した、より単純な形で近似する方法。必要な情報量や計算量を減らせる一方、どの程度の誤差が生じるかを評価することが重要になる。 - 17.量子アルゴリズム
量子力学の性質を利用して計算を行うための手順。量子コンピュータ上で問題を効率よく解くための計算方法を指す。
研究チーム
理化学研究所 量子コンピュータ研究センター 量子複雑性解析理研白眉研究チーム
基礎科学特別研究員 キム・ドンフン（Donghoon Kim）
研究員 木村 裕介（キムラ・ユウスケ）
研修生（研究当時）ヒューゴ・マッケイ（Hugo Mackay）
（ハーバード大学（米国）物理学科 学部生）
基礎科学特別研究員 三橋 洋亮（ミツハシ・ヨウスケ）
研究パートタイマーⅠ 西川 秀明（ニシカワ・ヒデアキ）
国際プログラム・アソシエイト（IPA）（研究当時）カルラ・ルビリアーニ（Carla Rubiliani）
（テュービンゲン大学（ドイツ）数学科 大学院生）
特別研究員 尚 程（Cheng Shang）
大学院生リサーチ・アソシエイト 鵜飼 歩美（ウカイ・アユミ）
（京都大学 数理解析研究所 大学院生）
理研白眉研究チームリーダー 桑原 知剛（クワハラ・トモタカ）
（開拓研究所 桑原量子複雑性解析理研白眉研究チーム 理研白眉研究チームリーダー）
研究支援
本研究は、科学技術振興機構（JST）戦略的創造研究推進事業さきがけ「量子多体理論を用いた量子計算機の高速アルゴリズムの開発（研究代表者：桑原知剛、JPMJPR2116）」、同戦略的創造科学技術推進事業ERATO「沙川情報エネルギー変換プロジェクト（研究代表者：沙川貴大、JPMJER2302）」、日本学術振興会（JSPS）科学研究費助成事業基盤研究（B）「速度限界と情報伝播に関する理論的研究（研究代表者：齊藤圭司、JP23H01099）」、同基盤研究（S）「中規模量子コンピュータによるセキュアな分散型量子計算の基盤創出（研究代表者：フランソワ・ルガル、JP24H00071）」、同基盤研究（C）「量子情報理論による相転移点近傍の複雑性解析と量子コンピュータへの応用（研究代表者：木村裕介、JP24K06909）」、および理研白眉研究チームの助成を受けて行われました。
原論文情報
- Donghoon Kim、Yusuke Kimura、Hugo Mackay、Yosuke Mitsuhashi、Hideaki Nishikawa、Carla Rubiliani、Cheng Shang、Ayumi Ukai、Tomotaka Kuwahara, "Spectral Small-Incremental-Entangling: Breaking Quasi-Polynomial Complexity Barriers in Long-Range Interacting Systems", Physical Review X, 10.1103/8fcr-5tf4
発表者
理化学研究所
量子コンピュータ研究センター 量子複雑性解析理研白眉研究チーム
理研白眉研究チームリーダー 桑原 知剛（クワハラ・トモタカ）
（開拓研究所 桑原量子複雑性解析理研白眉研究チーム 理研白眉研究チームリーダー）
桑原 知剛
報道担当
理化学研究所 広報部 報道担当
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