理化学研究所（理研）数理創造研究センター 数理基礎部門の小野 清志郎 基礎科学特別研究員（研究当時、現 数理創造研究センター 国内外連携・人材育成部門 客員研究員、最先端研究プラットフォーム連携（TRIP）事業本部統合データ・計算科学プログラム 客員研究員）らの共同研究チームは、物質のトポロジカルな性質を見分けるための「トポロジカル不変量^[1]」を、結晶の対称性に応じて系統的に構築する理論的手法を開発しました。

本研究成果は、従来の手法では見分けられなかったトポロジカル物質の理論的発見を可能にし、網羅的なトポロジカル物質の探索や無機物質データベースの構築に貢献するとともに、次世代省エネ技術や量子デバイスを支える新材料探索を加速させることが期待されています。

トポロジカル物質は、低消費電力デバイスなどの量子技術への応用が期待されています。しかし、従来よく用いられる手法では判定できないトポロジカルな性質も存在しており、そうした性質を捉えるための指標（トポロジカル不変量）は、これまで個別のケースごとに研究されてきました。

今回、共同研究チームは、運動量空間^[2]全体のトポロジカルな性質を調べる「Atiyah-Hirzebruchスペクトル系列」と呼ばれる数学的手法を用いて、トポロジカル不変量を系統的に構築する方法を開発しました。特に、従来の「対称性指標^[3]」手法では全く判定できなかった時間反転対称^[4]な超伝導体（s波型ペアリング対称性^[5]を持つもの）にこの理論を適用した結果、3次元結晶の空間群（全230種類）のうち159種類においてトポロジカルな性質を完全に判定できることが分かりました。

本研究は、科学雑誌『Physical Review X』オンライン版（10月23日付）に掲載されました。

背景

トポロジーとは、図形を連続的に変形しても変化しない幾何学的性質（穴の数など）を扱う数学の一分野です。物質中の電子状態を記述する波動関数に対しても同様の特徴量が「トポロジカル不変量」として定義されており、波動関数のトポロジーに関する理論研究は2016年のノーベル物理学賞の対象となるなど、現代の物理学における基本概念となっています。

トポロジカル不変量が通常と異なる物質群は「トポロジカル物質」と総称されます。内部が絶縁体でありながら表面が金属伝導を示す「トポロジカル絶縁体」や、量子情報技術への応用が期待される「トポロジカル超伝導体」などが知られています。トポロジカル物質の表面の電子状態は外乱に対して堅固であるため、超低消費電力デバイスや量子コンピュータをはじめとする次世代革新技術への応用が期待されています。

こうした応用を目指して、膨大な無機物質データベースからトポロジカル物質を網羅的に探索する研究が精力的に進められてきました。近年、電子状態の対称性という部分的なデータだけを使い、その物質がトポロジカル絶縁体であるかを一瞬で判定する「対称性指標」と呼ばれる手法と第一原理計算^[6]によるシミュレーションの融合により、数万種類の物質探索が実現し、トポロジカル物質データベースが構築されています。

しかし、電子状態の対称性という一部の情報のみでは判定不可能なトポロジーが多数存在することも判明しています。例えば、s波型ペアリング対称性を持つ時間反転対称な超伝導体におけるトポロジー検出手法は極めて限られていました。こうした系には、トポロジカル不変量そのものを導出する必要がありますが、従来のトポロジカル不変量は結晶の対称性ごとに個別に見いだされてきたため、系統的な構築方法は確立されていませんでした。

研究手法と成果

共同研究チームは、代数トポロジーと呼ばれる数学の分野で用いられる「Atiyah-Hirzebruchスペクトル系列（AHSS）」に着目しました。AHSSは、空間を点・線・面などの骨格に分解し、低次元から順に情報を積み上げることで運動量空間全体のトポロジカルな性質を調べる手法です。これまで運動量空間におけるAHSSは主にトポロジカル物質の分類に用いられてきましたが、本研究ではAHSSをトポロジカル不変量の系統的構築に応用する新手法を開発しました。

具体的には、まず結晶の対称性に基づいて運動量空間を点・線・面に分割します（図1①）。従来の対称性指標が「点」のみに依存していたのに対し、本手法では点と点を結ぶ「線」上の情報を使います（図2）。例えば、線上の電子状態から算出される位相の回転数（巻き付き数）は、点における情報が同じ物質同士であっても異なる値を取り得ます（図1②）。AHSSを適用することで、どの線上のどの電子状態に着目し、得られた位相情報をどのように組み合わせればトポロジカル不変量になるかを、結晶の対称性ごとに系統的に導き出せるようになりました（図1③）。

共同研究チームは、この手法を、磁性体に見られる対称性も含めた全1,651種類の結晶対称性に適用し、絶縁体と超伝導体のトポロジカル不変量を構築するために必要な情報を網羅的に導出して公開しました。

さらに本手法の有効性を実証するため、対称性指標では全く判定できなかった「s波型ペアリング対称性を持つ時間反転対称な超伝導体」について、全230種類の空間群および薄膜の対称性を表す全80種類の層群に対してトポロジカル不変量を具体的に構築しました。その結果、230種類の空間群のうち159種類、80種類の層群のうち76種類において、今回構築したトポロジカル不変量によってトポロジカルな性質を完全に判定できることが明らかになりました。残りの空間群・層群においてもトポロジカルな性質の一部を判定可能です。

また、絶縁体についても、計算上の任意性（電子状態の波動関数の位相の選び方）に左右されない形でトポロジカル不変量を定式化する方法を、対称性指標では判定できない具体例を通して示しました。本研究で構築したトポロジカル不変量は、高対称点^[3]とそれらを結ぶ線の上の情報のみから計算できるため、計算コストが比較的小さいことも特長です。

今後の期待

本研究により、これまで個別のケースごとに見つけられていたトポロジカル不変量を、結晶の対称性に基づいて系統的に導き出せるようになりました。導き出されたトポロジカル不変量は、第一原理計算で得られる電子状態から計算でき、高対称点とそれらを結ぶ線の情報だけで計算可能です。そのため、膨大な数の物質を対象とした網羅的な探索に適しています。既存のトポロジカル物質データベースの物質を本手法で再検証することで、これまで通常の物質と見なされていた物質の中から、新たなトポロジカル物質が見つかる可能性があります。

実際に、本研究で構築したトポロジカル不変量を基に、超伝導体のフェルミ面（電気伝導を担う電子の状態）の情報だけからトポロジカル超伝導体であるかを判定する公式も導き出されました^注）。さらに、本手法は汎用的（はんようてき）な枠組みであるため、外部とエネルギーをやりとりする系（非エルミート系）や、近年新しく分類された対称性（スピン空間群）を持つ磁性体など、多様な物質群への応用も期待されます。

本成果は、直ちにデバイスの実現などの応用につながるものではありませんが、幅広い新材料の発見を加速させ、将来の低消費電力デバイスをはじめとする次世代省エネ技術や量子デバイスの基盤となる新材料探索を加速させると期待されます。

• 注）2026年5月25日プレスリリース「フェルミ面の情報からトポロジカル超伝導体を同定」

補足説明

• 1.トポロジカル不変量
  「穴の数」のように連続的な変形で変わらない量のことで、数学のトポロジー（位相幾何学）に由来する概念。物質中の電子状態についても定義でき、その値の違いによって通常の物質とトポロジカル物質を見分けることができる。
• 2.運動量空間
  電子の「位置」ではなく「運動量（波数）」に基づいて物質の状態を表す空間。結晶中の電子の振る舞いを理解するために用いられる。結晶は「ブリルアンゾーン」と呼ばれる有限の領域で表される。
• 3.対称性指標、高対称点
  対称性指標は、運動量空間の対称性の高い点（高対称点）における電子状態の対称性の情報から、物質のトポロジーを判定する手法。
• 4.時間反転対称
  時間発展を逆にたどる、つまり電子の運動やスピンの向きを逆にするような操作に対して物理現象が不変な性質。
• 5.s波型ペアリング対称性
  超伝導の起源であるクーパー対（電子のペア）の対称性が、結晶の持つ対称性に対して不変に振る舞うこと。
• 6.第一原理計算
  量子力学に基づき、物質の電子状態を計算する手法。新材料の性質予測や候補物質探索に用いられる。

共同研究チーム

理化学研究所 数理創造研究センター 数理基礎部門
基礎科学特別研究員（研究当時）小野 清志郎（オノ・セイシロウ）
（現 数理創造研究センター 国内外連携・人材育成部門 客員研究員、最先端研究プラットフォーム連携（TRIP）事業本部 統合データ・計算科学プログラム 客員研究員、東京大学 物性研究所 物性理論研究部門 助教）

京都大学 基礎物理学研究所
助教 塩崎 謙（シオザキ・ケン）

研究支援

本研究は、理化学研究所運営費交付金（基礎科学特別研究員制度）で実施され、日本学術振興会（JSPS）科学研究費助成事業研究活動スタート支援「スペクトル系列に基づく包括的トポロジカル物質探索理論の構築と第一原理計算への実装（研究代表者：小野清志郎、JP23K19043）」、同基盤研究（B）「量子多体系における相空間の高次ホモトピーと幾何学的物理量の研究（研究代表者：塩崎謙、JP23K25794）」、同学術変革領域研究（A）「『学習物理学』の創成－機械学習と物理学の融合新領域による基礎物理学の変革（領域代表者：橋本幸士）」の計画研究「機械学習への位相幾何学的アプローチ（研究代表者：福嶋健二、JP22H05118）」、科学技術振興機構（JST）戦略的創造研究推進事業CREST研究領域「トポロジカル材料科学に基づく革新的機能を有する材料・デバイスの創出（研究総括：上田正仁）」の研究課題「物質のトポロジカル相の理論的探究（研究代表者：河東泰之、JPMJCR19T2）」の助成を受けて行われました。

原論文情報

• Seishiro Ono* & Ken Shiozaki* (*equal contribution), "Toward Complete Characterization of Topological Insulators and Superconductors: A Systematic Construction of Topological Invariants Based on Atiyah-Hirzebruch Spectral Sequence", Physical Review X, 10.1103/2rw7-bzl4

発表者

理化学研究所
数理創造研究センター 数理基礎部門
基礎科学特別研究員（研究当時）小野 清志郎（オノ・セイシロウ）
（現 数理創造研究センター 国内外連携・人材育成部門 客員研究員、最先端研究プラットフォーム連携（TRIP）事業本部 統合データ・計算科学プログラム 客員研究員）

報道担当

理化学研究所 広報部 報道担当
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